ધારો કે $A=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \theta > 0$. જો $B=P A P^T$,$C=P^T B^{10} P$ હોય અને $C$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,તો $m+n$ શોધો:

જો $A, B, C$ એ ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} \sin 2A & \sin C & \sin B \\ \sin C & \sin 2B & \sin A \\ \sin B & \sin A & \sin 2C \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શું થાય?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = A - I$. જો $\omega = \frac{\sqrt{3}i - 1}{2}$ હોય, તો ગણ $\{n \in \{1, 2, \ldots, 100\} : A^n + (\omega B)^n = A + B\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા $..........$ છે.

જો $ P=\left|\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & x\end{array}\right| $ અને $ Q=\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x\end{array}\right| $ હોય,તો $ \frac{d Q}{d x}= $

જો ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {\sin \theta } & {\cos \theta } \\ {\sin \theta } & { - x} & 1 \\ {\cos \theta } & 1 & x \end{array}} \right|$ અને ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {\sin 2\theta } & {\cos 2\theta } \\ {\sin 2\theta } & { - x} & 1 \\ {\cos 2\theta } & 1 & x \end{array}} \right|$,$x \ne 0$ હોય; તો તમામ $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$ માટે:

ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & b & 1 \end{bmatrix}$ અને $\operatorname{adj} M = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ જ્યાં $a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $a+b=3$
$(2)$ $\operatorname{det}(\operatorname{adj} M^2) = 81$
$(3)$ $(\operatorname{adj} M)^{-1} + \operatorname{adj} M^{-1} = -M$
$(4)$ જો $M \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,તો $\alpha - \beta + \gamma = 3$