मान लीजिए ${z_1}$ और ${z_2}$ इकाई के $n^{th}$ मूल हैं जो एक रेखाखंड के सिरे हैं जो मूल बिंदु पर समकोण बनाते हैं। तो $n$ किस रूप का होना चाहिए?

यदि $i = \sqrt{-1}$ है,तो $4 + 5\left(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^{334} + 3\left(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^{365}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x = a$,$y = b\omega$,और $z = c\omega^2$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = \dots$

एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,मान लीजिए $\arg (z)$,$z$ का मुख्य कोणांक दर्शाता है,जहाँ $-\pi < \arg (z) \leq \pi$ है। मान लीजिए $\omega$ इकाई का घनमूल है जिसके लिए $0 < \arg (\omega) < \pi$ है। मान लीजिए $\alpha = \arg \left(\sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n\right)$ है। तो $\frac{3 \alpha}{\pi}$ का मान $.....$ है।

यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो किसी भी $n>1$ के लिए,$\sum_{r=1}^{n-1} r(r+1-\omega)(r+1-\omega^2) =$

यदि $x=a+b$,$y=a \alpha+b \beta$,$z=a \beta+b \alpha$ और $\alpha, \beta$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं,तो $x^3+y^3+z^3=$