मान लीजिए L_1 समीकरणों 2x+3y+z=4 और x+2y+z=5 | vedclass

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Question

(C) $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 1 \ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \langle 1, -1, 1 angle$ है।च

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$A,C$

Vedclass · Answer

(C) $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 1 \ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \langle 1, -1, 1 angle$ है।चूंकि $L_2$,$L_1$ के समानांतर है और $P(2, -1, 3)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{1} = \lambda$ है। अतः,$L_2$ पर कोई भी बिंदु $(\lambda+2, -\lambda-1, \lambda+3)$ है।बिंदु $Q$ के लिए,यह समतल $M: 2x+y-2z=6$ पर स्थित है। मान रखने पर: $2(\lambda+2) + (-\lambda-1) - 2(\lambda+3) = 6 \Rightarrow 2\lambda+4-\lambda-1-2\lambda-6=6 \Rightarrow -\lambda-3=6 \Rightarrow \lambda=-9$.अतः,$Q = (-7, 8, -6)$.$PQ = \sqrt{(-7-2)^2 + (8-(-1))^2 + (-6-3)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 9^2 + (-9)^2} = 9\sqrt{3}$. अतः,$(A)$ सत्य है।$R$ के लिए,$P(2,-1,3)$ से $M: 2x+y-2z-6=0$ पर लंब का पाद,रेखा $PR$ की दिशा $\langle 2, 1, -2 angle$ है। अतः $R = (2\mu+2, \mu-1, -2\mu+3)$.$M$ में मान रखने पर: $2(2\mu+2) + (\mu-1) - 2(-2\mu+3) = 6 \Rightarrow 4\mu+4+\mu-1+4\mu-6=6 \Rightarrow 9\mu-3=6 \Rightarrow 9\mu=9 \Rightarrow \mu=1$.अतः,$R = (4, 0, 1)$.$QR = \sqrt{(4-(-7))^2 + (0-8)^2 + (1-(-6))^2} = \sqrt{11^2 + (-8)^2 + 7^2} = \sqrt{234}$. अतः,$(B)$ असत्य है।$	riangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{QP} 	imes \vec{QR}|$. $\vec{QP} = \langle 9, -9, 9 angle$,$\vec{QR} = \langle 11, -8, 7 angle$.$\vec{QP} 	imes \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 9 & -9 & 9 \ 11 & -8 & 7 \end{vmatrix} = 9\hat{i} + 36\hat{j} + 27\hat{k} = 9(\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$.परिमाण $= 9\sqrt{26}$. क्षेत्रफल $= \frac{9}{2}\sqrt{26} = \frac{3}{2}\sqrt{234}$. अतः,$(C)$ सत्य है।$\vec{PQ} = \langle -9, 9, -9 angle$,$\vec{PR} = \langle 2, 1, -2 angle$. $\cos 	heta = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{PR}|}{|PQ||PR|} = \frac{9}{9\sqrt{3} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$. अतः,$(D)$ असत्य है।

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