ધારો કે y(x) એ વિકલ સમીકરણ x^2 frac{dy}{dx} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 1 + (\frac{y}{x})^2$. ધારો કે $v = \frac

Vedclass · Accepted Answer

$0.75$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 1 + (\frac{y}{x})^2$. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} + v = 1 + v^2$. $x \frac{dv}{dx} = 1 + v^2 - 2v = (v - 1)^2$. ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{dv}{(v - 1)^2} = \int \frac{dx}{x}$. $-\frac{1}{v - 1} = \ln|x| + C$. $v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x}{y - x} = \ln x + C$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{x - y} = \ln x + C$ થાય છે. $y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{1 - 0} = \ln(1) + C \Rightarrow C = 1$. તેથી,$\frac{x}{x - y} = \ln x + 1 = \ln(ex)$. $y(e)$ માટે: $\frac{e}{e - y(e)} = \ln(e^2) = 2 \Rightarrow e = 2e - 2y(e) \Rightarrow y(e) = \frac{e}{2}$. $y(e^2)$ માટે: $\frac{e^2}{e^2 - y(e^2)} = \ln(e^3) = 3 \Rightarrow e^2 = 3e^2 - 3y(e^2) \Rightarrow 3y(e^2) = 2e^2 \Rightarrow y(e^2) = \frac{2e^2}{3}$. અંતે,$2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)} = 2 \frac{(e/2)^2}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{e^2/4}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$,$x > \frac{1}{e}$,નો ઉકેલ છે,જે $y(1) = 0$ નું સમાધાન કરે છે. તો $2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)}$ ની કિંમત $....$ છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ ${y^2}\,dx + ({x^2} - xy + {y^2})\,dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વક્રનું સમીકરણ શોધો જે બિંદુ $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો સ્પર્શકનો ઢાળ $1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ છે.

$\frac{dx}{dy} = h\left(\frac{x}{y}\right)$ સ્વરૂપના સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણને કઈ આદેશ (substitution) દ્વારા ઉકેલી શકાય છે?

આપેલ શરત સંતોષતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: $\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] d x+x d y=0$; $y=\frac{\pi}{4}$ જ્યારે $x=1$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module