ધારો કે $\bar{A}$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાને સમાંતર સદિશ છે. $P_1$ એ સદિશો $2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $4 \hat{j}-3 \hat{k}$ ને સમાંતર છે અને $P_2$ એ $\hat{j}-\hat{k}$ અને $3 \hat{i}+3 \hat{j}$ ને સમાંતર છે,તો $\bar{A}$ અને $2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો $P=(0,1,0)$ અને $Q=(0,0,1)$ હોય,તો સમતલ $x+y+z=3$ પર રેખાખંડ $PQ$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ કેટલી થાય?

ધારો કે રેખા $\ell: x = \frac{1-y}{-2} = \frac{z-3}{\lambda}, \lambda \in R$ એ સમતલ $P: x + 2y + 3z = 4$ ને બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માં મળે છે. જો રેખા $\ell$ અને સમતલ $P$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ હોય,તો $\alpha + 2\beta + 6\gamma$ ની કિંમત શોધો.

રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}$ પરના બિંદુ $P$ માંથી સમતલ $x + y + z = 3$ પર લંબ દોરવામાં આવે છે,જેથી લંબપાદ $Q$ એ સમતલ $x - y + z = 3$ પર પણ આવેલું હોય. તો $Q$ ના યામ શોધો.

ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $p$ માટે,જો બિંદુ $-\hat{i} + p\hat{j} - 3\hat{k}$ થી સમતલ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) = 7$ નું લંબ અંતર $6$ એકમ હોય,તો $p=$

ધારો કે $S$ એ બિંદુ $Q$ નું સમતલ $\vec{r} = -(t+p) \hat{i} + \hat{j} + (1+p) \hat{k}$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે,જ્યાં $t, p$ વાસ્તવિક પ્રાચલો છે અને $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ એ ત્રણ ધન અક્ષો પરના એકમ સદિશો છે. જો $Q$ અને $S$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 20 \hat{k}$ અને $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = -101$
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = -71$
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = -86$
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = -121$