मान लीजिए $P(x, y)$ बिंदु $(1, 0)$ को वक्र $y^{2} = \left|\begin{array}{ll}x+1 & x+2 \\ x+3 & x+5\end{array}\right|$ पर स्थित एक बिंदु से जोड़ने वाली रेखा का मध्य-बिंदु है। तब,$P$ का बिंदुपथ किसके सापेक्ष सममित है?

तीन बिंदु $O(0,0)$,$P(a, a^2)$,और $Q(-b, b^2)$ जहाँ $a > 0$ और $b > 0$ परवलय $y = x^2$ पर स्थित हैं। मान लीजिए $S_1$ रेखा $PQ$ और परवलय द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है,और $S_2$ त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल है। यदि $\frac{S_1}{S_2}$ का न्यूनतम मान $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

$PQ$ परवलय $y^2 = 4x$ की नाभि $S$ से होकर जाने वाली एक नाभीय जीवा है। यदि $P = (4, 4)$ है,तो $SQ = $

मान लीजिए कि वक्र $C$,परवलय $y^2=4x$ का रेखा $x+y+4=0$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब है। यदि $A$ और $B$,$C$ के रेखा $y=-5$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं,तो $A$ और $B$ के बीच की दूरी क्या है?

उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष $(2, -1)$ पर और नाभि $(2, -3)$ पर है।

परवलय $y^2 = 4ax$ की उस जीवा के मध्यबिंदु का बिंदुपथ क्या होगा जो शीर्ष पर समकोण अंतरित करती है?