ધારો કે $x=a \sin ^\alpha \theta \cos ^{\alpha+1} \theta$ અને $y=a \sin ^{\alpha+1} \theta \cos ^\alpha \theta$,જ્યાં $\theta \neq \frac{n \pi}{2}$. જો $\frac{(x^2+y^2)^m}{(xy)^n}$ એ $\theta$ થી સ્વતંત્ર હોય,તો $\alpha, m$ અને $n$ વચ્ચેનો સંબંધ શું છે?

કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$S_n: (0, \infty) \rightarrow R$ ને $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cot^{-1}\left(\frac{1+k(k+1)x^2}{x}\right)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં કોઈપણ $x \in R$ માટે,$\cot^{-1} x \in (0, \pi)$ અને $\tan^{-1} x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$,બધા $x > 0$ માટે
$(B)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \cot(S_n(x)) = x$,બધા $x > 0$ માટે
$(C)$ સમીકરણ $S_3(x) = \frac{\pi}{4}$ ને $(0, \infty)$ માં એક ઉકેલ છે
$(D)$ $\tan(S_n(x)) \leq \frac{1}{2}$,બધા $n \geq 1$ અને $x > 0$ માટે

ધારો કે $|\cos \theta \cos (60^{\circ}-\theta) \cos (60^{\circ}+\theta)| \leq \frac{1}{8}$, જ્યાં $\theta \in [0, 2\pi]$. તો, તમામ $\theta \in [0, 2\pi]$ નો સરવાળો શોધો જ્યાં $\cos 3\theta$ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે: ($\pi$ માં)

જો $\sin A + \sin 2A = x$ અને $\cos A + \cos 2A = y$ હોય,તો $({x^2} + {y^2})({x^2} + {y^2} - 3) = $

જો $A$ ત્રીજા ચરણમાં હોય અને $3 \tan A - 4 = 0$ હોય,તો $5 \sin 2A + 3 \sin A + 4 \cos A = $

જો $\frac{\cos (A+B)}{\cos (A-B)}=\frac{\sin (C+D)}{\sin (C-D)}$ હોય,તો $\tan A \tan B \tan C=$