मान लीजिए LL^{prime} एक अतिपरवलय की नाभि S से | vedclass

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Question

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ मानिए। शीर्ष $A^{\prime}$ के निर्देशांक $(-a, 0)$ हैं। नाभि $S$ $(ae, 0)$ है और नाभिलंब

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$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$

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(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ मानिए। शीर्ष $A^{\prime}$ के निर्देशांक $(-a, 0)$ हैं। नाभि $S$ $(ae, 0)$ है और नाभिलंब के अंतिम बिंदु $L$ और $L^{\prime}$ $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं। भुजा $LL^{\prime}$ की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ है। चूंकि $	riangle A^{\prime}LL^{\prime}$ समबाहु है,$A^{\prime}$ से $LL^{\prime}$ पर लंब की लंबाई $\frac{\sqrt{3}}{2} 	imes 	ext{भुजा की लंबाई} = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$ है। $A^{\prime}(-a, 0)$ से रेखा $x = ae$ की दूरी $a(e+1)$ है। अतः,$a(e+1) = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$। $b^2 = a^2(e^2-1)$ का उपयोग करने पर,$a(e+1) = \sqrt{3}a(e-1)(e+1)$ प्राप्त होता है। $a(e+1)$ से विभाजित करने पर,$1 = \sqrt{3}(e-1)$ मिलता है,जिसका अर्थ है $e = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$।

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