मान लीजिए (1, 2) एक अतिपरवलय H की नाभि है और | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $P(x, y)$ अतिपरवलय $H$ पर कोई बिंदु है। नाभि $S(1, 2)$ है और नियता $x+y+1=0$ है। शंकु परिच्छेद की परिभाषा के अनुसार,$\frac{PS}{PM} = e$,

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$x^2+6xy+y^2+10x+14y-7=0$

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(D) मान लीजिए $P(x, y)$ अतिपरवलय $H$ पर कोई बिंदु है। नाभि $S(1, 2)$ है और नियता $x+y+1=0$ है। शंकु परिच्छेद की परिभाषा के अनुसार,$\frac{PS}{PM} = e$,जहाँ $e = \sqrt{3}$ उत्केंद्रता है और $PM$ बिंदु $P$ से नियता की लंबवत दूरी है। अतः,$PS^2 = e^2 PM^2$. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 \left( \frac{x+y+1}{\sqrt{1^2+1^2}} \right)^2$. $(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) = 3 \left( \frac{(x+y+1)^2}{2} \right)$. $2(x^2+y^2-2x-4y+5) = 3(x^2+y^2+1+2xy+2x+2y)$. $2x^2+2y^2-4x-8y+10 = 3x^2+3y^2+6xy+6x+6y+3$. पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2+6xy+y^2+10x+14y-7=0$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $(1, 2)$ एक अतिपरवलय $H$ की नाभि है और $x+y+1=0$ उसकी नियता है। यदि $\sqrt{3}$ $H$ की उत्केंद्रता है,तो उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

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