ધારો કે $M$ અને $N$ એ $\mathbb{R}$ પર $2$ કક્ષાના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે,જ્યાં $N$ વિકર્ણ શ્રેણિક છે. તો $M N M^{-1}$ વિકર્ણ શ્રેણિક ક્યારે હોય . . . . . .

ધારો કે $\det \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^n k & \sum_{k=0}^n {^nC_k} k^2 \\ \sum_{k=0}^n {^nC_k} k & \sum_{k=0}^n {^nC_k} 3^k \end{bmatrix} = 0$ કોઈ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે સાચું છે. તો $\sum_{k=0}^n \frac{{^nC_k}}{k+1}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S$ એ $\{-1, 0, 1\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા તમામ $3 \times 3$ શ્રેણિકોનો ગણ છે. $A \in S$ એવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા શોધો કે જેથી $A^{T}A$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $6$ થાય.

જો $A$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક હોય અને $|A| = 2$ હોય,તો $|(A-A^T)^6| + |(A^T-A)^7|$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $A^T$ એ શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક દર્શાવે છે).

ધારો કે $A$ એ શૂન્યતર ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે અને $A^2 = I$ છે,જ્યાં $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. $tr(A) = A$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો અને $|A| = A$ નો નિશ્ચાયક વ્યાખ્યાયિત કરો.
વિધાન $-1: tr(A) = 0$
વિધાન $-2: \det(A) = 1$

$3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે,$\text{trace}(M)$ એ $M$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો દર્શાવે છે. ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી $|A|=\frac{1}{2}$ અને $\text{trace}(A)=3$ થાય. જો $B=\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))$ હોય,તો $|B|+\text{trace}(B)$ ની કિંમત કેટલી થાય?