मान लीजिए कि f: R rightarrow R एक सतत फलन है, | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि,$f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि $|f(x)-f(y)| \leq 10|x-y|^{201}$ है।दोनों पक्षों को $|x-y|$ से विभाजित करने पर (जहा

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$f(2019)+f(2022)=2f(2021)$

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(B) दिया गया है कि,$f: R ightarrow R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि $|f(x)-f(y)| \leq 10|x-y|^{201}$ है।दोनों पक्षों को $|x-y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x 
eq y$):$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq 10|x-y|^{200}$.जब $y ightarrow x$ हो,तब सीमा (limit) लेने पर:$\lim_{y ightarrow x} \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} ight| \leq \lim_{y ightarrow x} 10|x-y|^{200}$.$|f'(x)| \leq 0$.चूंकि निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(x)| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) = 0$ है।अतः,$f(x) = C$ (एक अचर फलन है)।चूंकि $f(x)$ एक अचर फलन है,इसलिए $f(2019) = f(2020) = f(2021) = f(2022) = C$.विकल्पों की जाँच करने पर:$f(2019) + f(2022) = C + C = 2C$.$2f(2021) = 2C$.इस प्रकार,$f(2019) + f(2022) = 2f(2021)$ सत्य है।अतः,विकल्प $B$ सही है।

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$|f(x)-f(y)| \leq 10|x-y|^{201}$ है,तो

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