माना $f(x) = \begin{cases} \frac{5 e^{1/x} + 2}{3 - e^{1/x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. तो $x = 0$ पर,$x f(x)$ और $f(x)$ क्रमशः क्या हैं?

एक फलन $f(x) = \begin{cases} 1 + x, & x \le 2 \\ 5 - x, & x > 2 \end{cases}$ है

$f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ के लिए निम्नलिखित तीन कथनों पर विचार करें:
$(I)$ $f$ सभी $x > 0$ के लिए अवकलनीय है।
$(II)$ $f$ अंतराल $(0, 1)$ में वर्धमान है।
$(III)$ $f$ अंतराल $(1, \infty)$ में ह्रासमान है।
तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 12x - 1, & -1 \le x \le 2 \\ 37 - x, & 2 < x \le 3 \end{cases}$,तो:

मान लीजिए $f$ अंतराल $(0, \infty)$ पर परिभाषित एक वास्तविक मान वाला फलन है,जहाँ $f(x)=\ln x+\int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है
$(B)$ $f^{\prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है और $f^{\prime}$ अंतराल $(0, \infty)$ पर सतत है,लेकिन $(0, \infty)$ पर अवकलनीय नहीं है
$(C)$ ऐसा $\alpha>1$ मौजूद है कि सभी $x \in(\alpha, \infty)$ के लिए $|f^{\prime}(x)|<|f(x)|$ है
$(D)$ ऐसा $\beta>0$ मौजूद है कि सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए $|f(x)|+|f^{\prime}(x)| \leq \beta$ है

सामान्य संकेतन में $\Delta \nabla$ का मान किसके बराबर है?