सामान्य संकेतन में $\Delta \nabla$ का मान किसके बराबर है?

निम्नलिखित का मिलान करें:
नीचे,$[x]$ उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है।

$(a)$ $x|x|$	$(i)$ $(-1, 1)$ में सतत है
$(b)$ $\sqrt{|x|}$	$(ii)$ $(-1, 1)$ में अवकलनीय है
$(c)$ $x+[x]$	$(iii)$ $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है
$(d)$ $|x-1|+|x+1|$	$(iv)$ $(-1, 1)$ में कम से कम एक बिंदु पर अवकलनीय नहीं है

यदि $f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x$ है,तो $f'\left( \frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1}(\frac{\alpha x + \beta}{\gamma}) & x \in (0, \frac{1}{2}) \\ 0 & x = \frac{1}{2} \\ \ln(\beta x^2 + 2) & x \in (\frac{1}{2}, 1) \end{cases}$ है। यदि $f(x)$ अपने डोमेन में सतत और अवकलनीय है,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : R \to R$ एक अवकलनीय फलन है जो $f''(3) + f'(2) = 0$ को संतुष्ट करता है। तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} \right) - f\left( 3 \right)}}{{1 + f\left( {2 - x} \right) - f\left( 2 \right)}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & |x| > 1 \end{cases}$ है: