मान लीजिए f : R to R एक अवकलनीय फलन है जो f'' | vedclass

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Question

(B) यह पद $1^\infty$ रूप में है जब $x 	o 0$ है।मान लीजिए $L = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} ight) - f\left(

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$1$

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(B) यह पद $1^\infty$ रूप में है जब $x 	o 0$ है।मान लीजिए $L = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} ight) - f\left( 3 ight)}}{{1 + f\left( {2 - x} ight) - f\left( 2 ight)}}} ight)^{\frac{1}{x}}}$.सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x 	o a} {\left( {f(x)} ight)^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x 	o a} g(x)(f(x) - 1)}$ का उपयोग करने पर:$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{1}{x} \left( \frac{f(3+x) - f(3) - f(2-x) + f(2)}{1 + f(2-x) - f(2)} ight)}$घातांक के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर:घातांक $= \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{f'(3+x) + f'(2-x)}{1 + f(2-x) - f(2) - xf'(2-x)} = \frac{f'(3) + f'(2)}{1} = 0$.अतः,$L = e^0 = 1$.

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$\mathop {Lim}\limits_{\lambda \to 0} \,{\left( {\int\limits_0^1 {{{(1 + x)}^\lambda }dx} } \right)^{\frac{1}{\lambda }}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{जब } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{जब } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{जब } 1 < x < \infty \end{cases}$
तो $x=1$ पर,$f$ है:

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