मान लीजिए f(x) एक अवकलनीय फलन है जैसे कि f(1) | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(1)=2$,$f(2)=6$ और $f(x+y)=f(x)+kxy+\frac{4}{3}y^2$। फलन समीकरण में $x=1$ और $y=1$ रखने पर: $f(1+1) = f(1) + k(1)(1) + \frac{4}{3}(1

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$\frac{4}{3}x^2+\frac{2}{3}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(1)=2$,$f(2)=6$ और $f(x+y)=f(x)+kxy+\frac{4}{3}y^2$। फलन समीकरण में $x=1$ और $y=1$ रखने पर: $f(1+1) = f(1) + k(1)(1) + \frac{4}{3}(1)^2$ $f(2) = f(1) + k + \frac{4}{3}$ $6 = 2 + k + \frac{4}{3}$ $4 = k + \frac{4}{3}$ $k = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$। अब,$k = \frac{8}{3}$ को मूल समीकरण में रखने पर: $f(x+y) = f(x) + \frac{8}{3}xy + \frac{4}{3}y^2$। $f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{\frac{8}{3}xh + \frac{4}{3}h^2}{h} = \lim_{h 	o 0} (\frac{8}{3}x + \frac{4}{3}h) = \frac{8}{3}x$। $f'(x) = \frac{8}{3}x$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $f(x) = \int \frac{8}{3}x \, dx = \frac{8}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{4}{3}x^2 + C$। $f(1)=2$ का उपयोग करने पर: $2 = \frac{4}{3}(1)^2 + C \Rightarrow C = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$। अतः,$f(x) = \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}$।

मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(1)=2$,$f(2)=6$ और $f(x+y)=f(x)+kxy+\frac{4}{3}y^2$ सभी $x, y \in R$ के लिए,तो $f(x)=$

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