मान लीजिए f: R rightarrow R को f(x) = begin{c | vedclass

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Question

(B) $f$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} f(x) = f(1) = 1$ होना चाहिए। सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ पर विचा

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$1$

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(B) $f$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} f(x) = f(1) = 1$ होना चाहिए। सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} (a - \frac{\sin [x-1]}{x-1})$। $x > 1$ और $x$ के $1$ के बहुत करीब होने पर,$0 अतः,$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = a - \frac{\sin(0)}{x-1} = a - 0 = a$। चूंकि $f(1) = 1$,इसलिए $a = 1$ प्राप्त होता है। अब,बाईं ओर की सीमा $(LHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} (b - [\frac{\sin [x-1] - [x-1]}{([x-1])^3}])$। $x अतः,$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = b - [\frac{\sin(-1) - (-1)}{(-1)^3}] = b - [\frac{-\sin(1) + 1}{-1}] = b - [\sin(1) - 1]$। चूंकि $0 अतः सबसे बड़ा पूर्णांक $[\sin(1) - 1] = -1$ होगा। इसलिए,$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = b - (-1) = b + 1$। इसे $f(1) = 1$ के बराबर रखने पर,$b + 1 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 0$। अतः,$a + b = 1 + 0 = 1$।

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यदि $f(x) = \cos \left[ \frac{\pi}{x} \right] \cos \left( \frac{\pi}{2} (x - 1) \right)$ है,तो $f(x)$ किस बिंदु पर सतत है? (जहाँ $[x]$,$x$ का महत्तम पूर्णांक फलन है)

$f(x) = \begin{cases} [x^2] - [-x^2], & x \neq 3 \\ k, & x = 3 \end{cases}$ $x = 3$ पर सतत है,तो $k = $ ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं पर तत्समक फलन (identity function) $f(x) = x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{k\cos x}{\pi - 2x}, & x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $k = $

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