मान लीजिए कि f: R rightarrow R को f(x)=begin{ | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) = 2$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा: $\lim_{x 	o 0

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$1$

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(D) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) = 2$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा: $\lim_{x 	o 0^+} (\alpha + \frac{\sin [x]}{x})$। $0 इसके बाद,बाईं ओर की सीमा: $\lim_{x 	o 0^-} (\beta + \frac{\sin x - x}{x^3})$। टेलर श्रेणी $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta - \frac{1}{6} = 2$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{13}{6}$।

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मान लीजिए $f(x) = \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$,जहाँ $x \neq \frac{\pi}{4}$ और $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $x \neq 1$ के लिए $f(x) = \frac{1 - x(1 + |1 - x|)}{|1 - x|} \cos \left(\frac{1}{1 - x}\right)$ है। तो

यदि $f(x) = \begin{cases} x \sin x, & 0 < x \le \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \sin(\pi + x), & \frac{\pi}{2} < x < \pi \end{cases}$,तो

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