यदि फलन f(x) = begin{cases} x + a sqrt{2} sin | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा $(LHL)$ दायाँ सीमा $(RHL)$ के बराबर होनी चाहिए: $\lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^-} (x + a \

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा $(LHL)$ दायाँ सीमा $(RHL)$ के बराबर होनी चाहिए: $\lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$ $\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$ $\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$. $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$LHL$,$RHL$ के बराबर होनी चाहिए: $\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$ $2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$ $b = -a - b \implies a = -2b$. $a = -2b$ को $a - b = \frac{\pi}{4}$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$. अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$. इस प्रकार,$a - b = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{2\pi + \pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

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फलन $f(x)=\frac{x-1}{x^3+6x^2+11x+6}$ के लिए $\mathbb{R}$ में असांतत्य (discontinuities) की संख्या है

यदि $\{x\} = x - [x]$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है और $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-\{x\}^2) \sin^{-1}(1-\{x\})}{\{x\}-\{x\}^4} = \theta$,तो $\tan \theta =$

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x, & x \leq 0 \\ e^{ax+b}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यह एक सतत फलन है,तो:

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