मान लीजिए n in (0, infty) है। यदि n के विभिन् | vedclass

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Question

(C) वक्रों का परिवार $y = x^n \log x$ दिया गया है। यदि स्पर्श रेखा $y = x - 1$ सभी वक्रों के लिए एक निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर उभयनिष्ठ स्पर्श

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(C) वक्रों का परिवार $y = x^n \log x$ दिया गया है। यदि स्पर्श रेखा $y = x - 1$ सभी वक्रों के लिए एक निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है,तो स्पर्श रेखा की ढाल $1$ होनी चाहिए (क्योंकि $y = x - 1$ की ढाल $1$ है)। अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = n x^{n-1} \log x + x^n \cdot \frac{1}{x} = x^{n-1} (n \log x + 1)$। स्पर्श बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर,ढाल $1$ है: $\alpha^{n-1} (n \log \alpha + 1) = 1$। यह सभी $n$ के लिए सत्य हो,इसके लिए हम $\alpha = 1$ पर जाँच करते हैं: $1^{n-1} (n \log 1 + 1) = 1 \cdot (0 + 1) = 1$। यह $n$ से स्वतंत्र है। जब $\alpha = 1$ है,तो वक्र पर $y$ का मान $\beta = 1^n \log 1 = 0$ है। अतः,निश्चित बिंदु $(1, 0)$ है। इसलिए,$\alpha + \beta = 1 + 0 = 1$।

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