यदि T वक्र 3 y^2 = 4 x^3 पर किसी भी बिंदु पर | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र का समीकरण $3 y^2 = 4 x^3$ ...$(i)$ है। माना $P(h, k)$ वक्र पर एक बिंदु है। समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$6 y \frac{dy}

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$2 N$

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(C) दिए गए वक्र का समीकरण $3 y^2 = 4 x^3$ ...$(i)$ है। माना $P(h, k)$ वक्र पर एक बिंदु है। समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$6 y \frac{dy}{dx} = 12 x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^2}{y}$। बिंदु $(h, k)$ पर,ढाल $m = \frac{2 h^2}{k}$ है। अधोस्पर्शक की लंबाई $T = \left| \frac{k}{m} \right| = \left| \frac{k}{2 h^2 / k} \right| = \frac{k^2}{2 h^2}$। चूंकि $3 k^2 = 4 h^3$,इसलिए $k^2 = \frac{4}{3} h^3$। इस मान को $T$ में प्रतिस्थापित करने पर,$T = \frac{4 h^3}{3(2 h^2)} = \frac{2}{3} h$। अधोलंब की लंबाई $N = |k m| = \left| k \cdot \frac{2 h^2}{k} \right| = 2 h^2$। हमें $T$ और $N$ के बीच संबंध ज्ञात करना है। $N = 2 h^2$ से,$h^2 = \frac{N}{2}$,इसलिए $h = \sqrt{\frac{N}{2}}$। अतः $T = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{N}{2}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{N}{2} = \frac{2 N}{9}$। इस प्रकार,$9 T^2 = 2 N$,जिसे $(3 T)^2 = 2 N$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी तुलना $(\beta T)^2 = 2 N$ से करने पर,हमें $\beta = 3$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $C$ है।

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