मान लीजिए $u$ और $v$ दो शून्येतर सदिश हैं। यदि $|u+v|=|u-v|$ है,तो:

यदि $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, 2 \hat{i}+5 \hat{j}, 3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $\hat{i}-6 \hat{j}-\hat{k}$ क्रमशः बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश हैं,तो $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ संरेख हैं।

एक समांतर चतुर्भुज $PQRS$ की दो आसन्न भुजाएँ $\vec{PQ} = \hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{PS} = \hat{i} - \hat{j}$ द्वारा दी गई हैं। यदि भुजा $PS$ को बिंदु $P$ के परितः समांतर चतुर्भुज के तल में एक न्यून कोण $\alpha$ से इस प्रकार घुमाया जाता है कि यह भुजा $PQ$ के लंबवत हो जाए, तो $\sin^2(\frac{5\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b$ और $c$ इकाई सदिश (unit vectors) इस प्रकार हैं कि $a+b+c=0$,तो $a \cdot b+b \cdot c+c \cdot a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}=\hat{i}+(\tan \theta) \hat{j}+\left(\frac{3}{\sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}}\right) \hat{k}$ और $\vec{b}=\tan \theta(\hat{j}-\hat{i})-\left(2 \sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}\right) \hat{k}$ लंबकोणीय सदिश हैं और $\vec{c}=(\sin 2 \theta) \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$, $X$-अक्ष के साथ अधिक कोण बनाता है, तो $\theta=$

यदि $A, B, C, D$ स्थिति सदिशों $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, 2 \hat{i}-3 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ वाले बिंदु हैं,तो $\overrightarrow{CD}$ पर $\overrightarrow{AB}$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।