मान लीजिए कि D और E क्रमशः त्रिभुज ABC की भुज | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।दिया गया है कि $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\v

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(D) मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।दिया गया है कि $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$.चूंकि $D, AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$ है।चूंकि $E, BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $E$ का स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ है।$	riangle ODE$ का क्षेत्रफल $	ext{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d} 	imes \vec{e}|$ द्वारा दिया जाता है।$\vec{d}$ और $\vec{e}$ के मान रखने पर:$	ext{Area} = \frac{1}{2} |(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}) 	imes (\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2})| = \frac{1}{8} |\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{a} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{b} + \vec{c} 	imes \vec{c}|$.चूंकि $\vec{c} 	imes \vec{c} = \vec{0}$,इसलिए $	ext{Area} = \frac{1}{8} |\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{a} 	imes \vec{c} - \vec{b} 	imes \vec{c}|$.दिए गए समीकरण $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$ में,$\vec{b}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर $\vec{a} 	imes \vec{b} + 3(\vec{c} 	imes \vec{b}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} 	imes \vec{b} = 3(\vec{b} 	imes \vec{c})$ प्राप्त होता है।$\vec{c}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर $\vec{a} 	imes \vec{c} + 2(\vec{b} 	imes \vec{c}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} 	imes \vec{c} = 2(\vec{c} 	imes \vec{b})$ प्राप्त होता है।इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:$	ext{Area} = \frac{1}{8} |3(\vec{b} 	imes \vec{c}) + 2(\vec{c} 	imes \vec{b}) - (\vec{b} 	imes \vec{c})| = \frac{1}{8} |3(\vec{b} 	imes \vec{c}) - 2(\vec{b} 	imes \vec{c}) - (\vec{b} 	imes \vec{c})| = \frac{1}{8} |0| = 0$.

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