ધારો કે $\pi_1$ એ $\hat{i}+\hat{j}$ અને $\hat{j}+\hat{k}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે,અને $\pi_2$ એ $\hat{i}-\hat{j}$ અને $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે. ધારો કે $\vec{a}$ એ $\pi_1$ અને $\pi_2$ ની છેદરેખાને સમાંતર સદિશ છે. જો $|\vec{a}|=\sqrt{14}$ હોય,તો $|\vec{a} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})|=$

$\mathbb{R}^3$ માં,ધારો કે $L$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે. ધારો કે $L$ પરના તમામ બિંદુઓ બે સમતલો $P_1: x+2y-z+1=0$ અને $P_2: 2x-y+z-1=0$ થી સમાન અંતરે છે. ધારો કે $M$ એ $L$ પરના બિંદુઓમાંથી સમતલ $P_1$ પર દોરેલા લંબના પગનો બિંદુગણ છે. નીચેનામાંથી કયા બિંદુઓ $M$ પર આવેલા છે?
$(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$
$(C) \left(-\frac{5}{6}, 0, \frac{1}{6}\right)$
$(D) \left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)$

બિંદુઓ $(2, 1, -1)$ અને $(-1, 3, 4)$ માંથી પસાર થતા અને સમતલ $x - 2y + 4z = 10$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

એક સમતલ $X, Y$ અને $Z$-અક્ષ પર અનુક્રમે $2, 3, 4$ ના અંતઃખંડો બનાવે છે. બીજું એક સમતલ બિંદુ $(-1, 6, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને બિંદુઓ $(1, 2, 3)$ અને $(-2, 3, 4)$ ને જોડતી રેખાને લંબ છે. તો બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો સમતલ $ax - 2y + z = k$ અને રેખાઓ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ તથા $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ ને સમાવતા સમતલ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{6}$ હોય, તો $|k|$ ની કિંમત શોધો.

જો $d$ એ રેખાઓ $\vec{r} = (4\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ અને $\vec{r} = (2\hat{i} + \hat{j}) + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ ને સમાવતા સમતલથી બિંદુ $(2, 5, 10)$ નું અંતર હોય, તો $d^2 = $