मान लीजिए कि $S$,अंतराल $(-3, 7)$ में $\lambda$ के उन सभी संभावित पूर्णांक मानों का समुच्चय है जिनके लिए द्विघात समीकरण $\lambda x^2 + 13x + 7 = 0$ के मूल परिमेय संख्याएँ हैं। तो $S$ के तत्वों का योग क्या है?

यदि $a, b \in \{1, 2, 3\}$ और समीकरण $ax^{2} + bx + 1 = 0$ के मूल वास्तविक हैं, तो

दो अंकों की एक संख्या अपने अंकों के योग की चार गुनी और अपने अंकों के गुणनफल की तीन गुनी है। वह संख्या है:

धनात्मक पूर्णांक $n$, जिसके लिए समीकरण $x(x+2)+(x+2)(x+4)+...+(x+2n-2)(x+2n) = \frac{8n}{3}$ के हल दो क्रमागत सम पूर्णांक हैं, वह है:

यदि $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ समीकरण $x^4-x^2+x-1=0$ का एक मूल है,तो इसके वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $S$ सभी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय है,जिसके लिए द्विघात समीकरण $\alpha x^2 - x + \alpha = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल $x_1$ और $x_2$ हैं जो असमिका $|x_1 - x_2| < 1$ को संतुष्ट करते हैं। निम्नलिखित में से कौन सा अंतराल $S$ का उपसमुच्चय है?
$(A) \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)$
$(C) \left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
$(D) \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{1}{2}\right)$