मान लीजिए $f(x)=x^2+a x+b$,जहाँ $a, b \in R$ है। यदि $f(x)=0$ के सभी मूल काल्पनिक हैं,तो $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ के मूल क्या होंगे?

मान लीजिए $f$ अंतराल $(0, \infty)$ पर परिभाषित एक वास्तविक मान वाला फलन है,जहाँ $f(x)=\ln x+\int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है
$(B)$ $f^{\prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है और $f^{\prime}$ अंतराल $(0, \infty)$ पर सतत है,लेकिन $(0, \infty)$ पर अवकलनीय नहीं है
$(C)$ ऐसा $\alpha>1$ मौजूद है कि सभी $x \in(\alpha, \infty)$ के लिए $|f^{\prime}(x)|<|f(x)|$ है
$(D)$ ऐसा $\beta>0$ मौजूद है कि सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए $|f(x)|+|f^{\prime}(x)| \leq \beta$ है

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$. तो:

मान लीजिए $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,और $m$ और $n$ क्रमशः उन बिंदुओं की संख्या हैं,जहाँ फलन $f(x) = [x] + |x - 2|$,$-2 < x < 3$,संतत नहीं है और अवकलनीय नहीं है। तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

यदि $y=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$ है,तो $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{dy}{dx}=$