मान लीजिए z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है,A | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $A = \{z : |z| \leq 2\}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{x^2 + y^2} \leq 2$,या $x^2 + y^2 \leq 4$। दिया गया है $B = \{z : (1-i)z + (1+i)\bar{z} \

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$\sqrt{3} + \frac{1}{2}i$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $A = \{z : |z| \leq 2\}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{x^2 + y^2} \leq 2$,या $x^2 + y^2 \leq 4$। दिया गया है $B = \{z : (1-i)z + (1+i)\bar{z} \geq 4\}$। $z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ प्रतिस्थापित करने पर: $(1-i)(x+iy) + (1+i)(x-iy) \geq 4$ $(x + iy - ix - i^2y) + (x - iy + ix - i^2y) \geq 4$ $(x + iy - ix + y) + (x - iy + ix + y) \geq 4$ $2x + 2y \geq 4 \implies x + y \geq 2$। अतः,$A \cap B = \{z : x^2 + y^2 \leq 4 	ext{ और } x + y \geq 2\}$। विकल्पों की जाँच करने पर: $A$ के लिए,$z = \sqrt{3} + \frac{1}{2}i$: $|z|^2 = 3 + \frac{1}{4} = 3.25 \leq 4$ (सत्य)। $x+y = \sqrt{3} + 0.5 \approx 1.732 + 0.5 = 2.232 \geq 2$ (सत्य)। अतः,$\sqrt{3} + \frac{1}{2}i$ समुच्चय $A \cap B$ में आता है।

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