मान लीजिए k0 और t=operatorname{sech}^{-1}lef | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $t=\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{k}\right)$.लघुगणकीय रूपों $\operatorname{

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$4$

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(B) दिया गया है $t=\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{k}\right)$.लघुगणकीय रूपों $\operatorname{sech}^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ और $\operatorname{cosech}^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$ का उपयोग करने पर:$t=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-(1/2)^2}}{1/2}\right)-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+(3/k)^2}}{3/k}\right)$$t=\ln(2+\sqrt{3})-\ln\left(\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}\right)$.दिया गया है $3e^t=2+\sqrt{3}$,इसलिए $e^t=\frac{2+\sqrt{3}}{3}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $t=\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$.$t$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:$\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)=\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}}\right)$.इसका अर्थ है $\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}=3$,अतः $k+\sqrt{k^2+9}=9$.$\sqrt{k^2+9}=9-k$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $k^2+9=81+k^2-18k$.$18k=72$,जिससे $k=4$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $k>0$ और $t=\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{k}\right)$ है। यदि $3 e^t=2+\sqrt{3}$ है,तो $k=$

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