मान लीजिए A(2,1) एक बिंदु है और सरल रेखा L का | vedclass

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Question

(B) दी गई रेखा $L$ का समीकरण $x-y=0$ है। चर बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से रेखा $x-y=0$ तक की दूरी $b = \left|\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}\right|$ है,जि

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$3x^2+3y^2-10xy+8x+4y-10=0$

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(B) दी गई रेखा $L$ का समीकरण $x-y=0$ है। चर बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से रेखा $x-y=0$ तक की दूरी $b = \left|\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}ight|$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$,या $(\alpha-\beta)^2 = 2b^2$ $\ldots(i)$। $P(\alpha, \beta)$ और $A(2,1)$ के बीच की दूरी $a^2 = (\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2$ $\ldots(ii)$ है। मूल बिंदु $(0,0)$ से $A(2,1)$ की दूरी $c = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$ है,इसलिए $c^2 = 5$। दी गई शर्त $a = bc$ के अनुसार,$a^2 = b^2c^2 = 5b^2$ $\ldots(iii)$। $(i)$ और $(ii)$ को $(iii)$ में रखने पर,$(\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2 = 5 	imes \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$। $2$ से गुणा करने पर,$2(\alpha^2 - 4\alpha + 4 + \beta^2 - 2\beta + 1) = 5(\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta)$। $2\alpha^2 - 8\alpha + 8 + 2\beta^2 - 4\beta + 2 = 5\alpha^2 + 5\beta^2 - 10\alpha\beta$। पदों को व्यवस्थित करने पर,$3\alpha^2 + 3\beta^2 - 10\alpha\beta + 8\alpha + 4\beta - 10 = 0$। $(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$P$ का बिंदुपथ $3x^2 + 3y^2 - 10xy + 8x + 4y - 10 = 0$ है।

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सिद्ध कीजिए कि एक गतिमान बिंदु का पथ,जिसकी दो रेखाओं $3x - 2y = 5$ और $3x + 2y = 5$ से दूरियाँ समान हैं,एक सीधी रेखा है।

रेखा $x=2y$ पर स्थित बिंदुओं से रेखा $x=y$ पर खींचे गए लंबों के मध्य-बिंदुओं का बिंदुपथ है:

यदि $A=(5,3)$,$B=(3,-2)$ और एक बिंदु $P$ इस प्रकार है कि त्रिभुज $PAB$ का क्षेत्रफल $9$ है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या दर्शाता है?

यदि $P = (1, 1)$,$Q = (3, 2)$ और $R$,$x$-अक्ष पर एक बिंदु है,तो $PR + RQ$ का मान किस बिंदु पर न्यूनतम होगा?

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