मान लीजिए Z पूर्णांकों का समुच्चय है। f: Z ri | vedclass

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Question

(D) एकैकी (one-one) की जाँच: एक फलन एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो। $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ पर विचार करें। चूँकि $f(1) = f

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न तो एकैकी (one-one) है और न ही आच्छादक (onto)

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(D) एकैकी (one-one) की जाँच: एक फलन एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो। $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ पर विचार करें। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 
eq 3$, इसलिए फलन एकैकी नहीं है।आच्छादक (onto) की जाँच: एक फलन आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए, एक ऐसा $x \in Z$ मौजूद हो कि $f(x) = y$ हो। किसी भी विषम पूर्णांक $y$ (जहाँ $y 
eq 0$) के लिए, ऐसा कोई $x \in Z$ नहीं है कि $f(x) = y$ हो, क्योंकि $f$ का परिसर केवल $0$ और $2$ से विभाजित सम संख्याओं को ही समाहित करता है। अतः, फलन आच्छादक नहीं है।इसलिए, $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

$A$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$, $f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित, जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$, $f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

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दर्शाइए कि फलन $f: N \rightarrow N$ जो $f(x) = 2x$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी (one-one) है लेकिन आच्छादक (onto) नहीं है।

समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ से स्वयं पर सभी आच्छादक (onto) फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} -a & \text{यदि } -a \leq x \leq 0 \\ x+a & \text{यदि } 0 < x \leq a \end{cases}$ जहाँ $a > 0$ और $g(x) = \frac{f(|x|) - |f(x)|}{2}$ है। तो फलन $g: [-a, a] \rightarrow [-a, a]$ है

$f: N \rightarrow N$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x)=x^{2}$ की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

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