मान लीजिए कि Q, [0,1] में सभी परिमेय संख्याओं | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f:[0,1] ightarrow [0,1]$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} x & 	ext{यदि } x \in Q \ 1-x & 	ext{यदि } x 
otin Q \end

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$[0,1]$

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(A) दिया गया फलन $f:[0,1] ightarrow [0,1]$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} x & 	ext{यदि } x \in Q \ 1-x & 	ext{यदि } x 
otin Q \end{cases}$।हमें समुच्चय $S = \{x \in [0,1] : (f \circ f)(x) = x\}$ ज्ञात करना है।स्थिति $1$: यदि $x \in Q$ है, तो $f(x) = x$। चूँकि $x \in [0,1]$ और $x$ परिमेय है, इसलिए $f(x) \in Q$। अतः, $(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x) = x$। यह सभी $x \in Q \cap [0,1]$ के लिए सत्य है।स्थिति $2$: यदि $x 
otin Q$ है, तो $f(x) = 1-x$। चूँकि $x$ अपरिमेय है और $x \in [0,1]$, इसलिए $1-x$ भी अपरिमेय है और $1-x \in [0,1]$। अतः, $(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(1-x) = 1-(1-x) = x$। यह सभी $x \in [0,1] \setminus Q$ के लिए सत्य है।चूँकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(f \circ f)(x) = x$ है, इसलिए समुच्चय $S$ संपूर्ण अंतराल $[0,1]$ है।

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