मान लीजिए f: X rightarrow Y एक फलन है और y in | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f: X \rightarrow Y$ एक फलन है। परिभाषा के अनुसार, $A_y = f^{-1}(\{y\}) = \{x \in X : f(x) = y\}$। यह समुच्चय $A_y$ फलन $f$ के अंतर

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$f$ कोई भी फलन है

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(C) दिया गया है कि $f: X ightarrow Y$ एक फलन है। परिभाषा के अनुसार, $A_y = f^{-1}(\{y\}) = \{x \in X : f(x) = y\}$। यह समुच्चय $A_y$ फलन $f$ के अंतर्गत अवयव $y$ का पूर्व-प्रतिबिंब (preimage) दर्शाता है। किन्हीं भी दो भिन्न अवयवों $i, j \in Y$ जहाँ $i 
eq j$ के लिए, समुच्चय $A_i$ और $A_j$ असंयुक्त (disjoint) होते हैं क्योंकि एक फलन प्रांत के प्रत्येक अवयव को सह-प्रांत के केवल एक ही अवयव से जोड़ता है। अतः, $A_i \cap A_j = \phi$। इसके अतिरिक्त, सभी $y \in Y$ के लिए सभी पूर्व-प्रतिबिंबों $A_y$ का संघ (union) पूरे प्रांत $X$ को कवर करता है, अर्थात $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$। ये गुण किसी भी फलन $f: X ightarrow Y$ के लिए सत्य हैं। अतः, विकल्प $(C)$ सही है।

मान लीजिए $f: X \rightarrow Y$ एक फलन है और $y \in Y$ के लिए $A_y = f^{-1}(\{y\})$ है। तो $A_i \cap A_j = \phi$ $(i \neq j)$ सभी $i, j \in Y$ के लिए और $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$, यदि

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मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4\}$,$B = \{1, 5, 9, 11, 15, 16\}$ और $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$ है। क्या $f$,$A$ से $B$ में एक फलन है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

निम्नलिखित संबंध की जाँच करें और कारण बताते हुए स्पष्ट करें कि क्या यह एक फलन है या नहीं: $R = \{(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}$

एक फलन $f$,$f(x) = 2x - 5$ द्वारा परिभाषित है। $f(7)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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