मान लीजिए f(x)=x^3+2x^2-x एक वास्तविक मान वाल | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x)=x^3+2x^2-x$। चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है, यह $[-1,2]$ पर सतत है और $(-1,2)$ पर अवकलनीय है। लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुस

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$\frac{-2+\sqrt{19}}{3}$

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(B) दिया गया है $f(x)=x^3+2x^2-x$। चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है, यह $[-1,2]$ पर सतत है और $(-1,2)$ पर अवकलनीय है। लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार, एक ऐसा $C \in (-1,2)$ मौजूद है कि $f'(C) = \frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$। सबसे पहले, $f(2) = 2^3 + 2(2^2) - 2 = 8 + 8 - 2 = 14$। फिर, $f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) = -1 + 2 + 1 = 2$। अब, $f'(x) = 3x^2 + 4x - 1$। अतः, $3C^2 + 4C - 1 = \frac{14-2}{3} = \frac{12}{3} = 4$। $3C^2 + 4C - 5 = 0$। द्विघात सूत्र $C = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $C = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-5)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+60}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{6}$। सरल करने पर, $C = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{3}$। चूंकि $C \in (-1,2)$, हम धनात्मक मान लेंगे: $C = \frac{-2+\sqrt{19}}{3}$।

मान लीजिए $f(x)=x^3+2x^2-x$ एक वास्तविक मान वाला फलन है। तो, $(-1,2)$ में लैग्रेंज के स्थिरांक $C$ का मान है

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