ધારો કે I=int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{4}} fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x}\left(\frac{3}{\pi}+\log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}\right)\right) d x$.

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x}\left(\frac{3}{\pi}+\log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}ight)ight) d x$. સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I=\frac{3}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} \log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}ight) d x$. બીજું સંકલન શૂન્ય છે કારણ કે વિધેય અયુગ્મ છે. આમ, $I=\frac{3}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x = \frac{6}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x$. $\cos 2x = \frac{1-	an^2 x}{1+	an^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા: $I=\frac{6}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{2(1+	an^2 x) - (1-	an^2 x)} d x = \frac{6}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{1+3	an^2 x} d x$. ધારો કે $	an x = t$, તો $\sec^2 x d x = d t$. જ્યારે $x: 0 	o \frac{\pi}{4}$, ત્યારે $t: 0 	o 1$. $I=\frac{6}{\pi} \int_0^1 \frac{d t}{1+3t^2} = \frac{6}{\pi} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\sqrt{3}t) ight]_0^1 = \frac{6}{\pi \sqrt{3}} 	an^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$. તેથી, $3I^2 = 3 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} ight)^2 = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$.

Similar Questions

જો $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq x$ હોય,તો સંકલન $\int_{-0.9}^{0.9} \left( [x^2] + \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) \right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$,જ્યાં $0 < t < \pi$,તો $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \, dt}{f(t)}$ નું મૂલ્ય .......... થાય.

જો $\int_{0}^{1} 4 \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx = a \tan^{-1}(2) - b \log_{e}(5)$, જ્યાં $a, b \in N$, તો $(2a+b)$ ની કિંમત શોધો:

જો $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n \theta \, d\theta$ હોય,તો $I_{12} + I_{10} =$

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module