मान लीजिए कि S अवकल समीकरण frac{y^2 e^{-1 / y | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{y^2 e^{-1/y}}{\sqrt{x}} dx = 2 \sec \sqrt{x} dy$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{\sqrt{x} \sec \sqrt{x}} = \frac{2 d

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$\sin \sqrt{x} + e^{1/y} = e$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{y^2 e^{-1/y}}{\sqrt{x}} dx = 2 \sec \sqrt{x} dy$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{\sqrt{x} \sec \sqrt{x}} = \frac{2 dy}{y^2 e^{-1/y}}$. यह सरल होकर बनता है: $\cos \sqrt{x} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 e^{1/y} \frac{dy}{y^2}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos \sqrt{x} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int 2 e^{1/y} \frac{dy}{y^2}$. मान लीजिए $u = \sqrt{x}$, तो $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$. मान लीजिए $v = 1/y$, तो $dv = -\frac{1}{y^2} dy \implies \frac{dy}{y^2} = -dv$. इनका प्रतिस्थापन करने पर: $\int \cos(u) (2 du) = \int 2 e^v (-dv)$. $2 \sin(u) = -2 e^v + C$. $\sin \sqrt{x} = -e^{1/y} + C' \implies \sin \sqrt{x} + e^{1/y} = C'$. वक्र $(\pi^2, 1)$ से गुजरता है, इसलिए $\sin \sqrt{\pi^2} + e^{1/1} = C' \implies \sin \pi + e = C' \implies 0 + e = C'$. अतः, $C' = e$. वक्र का समीकरण $\sin \sqrt{x} + e^{1/y} = e$ है।

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