अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{1}{x+y+1} का | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$.माना $v = x+y+1$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \

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$y = \log_e\left(\frac{x+y+2}{k}\right)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$.माना $v = x+y+1$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{1}{v}$.$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 1 = \frac{1+v}{v}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{v}{1+v} dv = dx$.$\left(\frac{1+v-1}{1+v}\right) dv = dx \Rightarrow \left(1 - \frac{1}{1+v}\right) dv = dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int dx$.$v - \log|1+v| = x + c$.$v = x+y+1$ रखने पर: $(x+y+1) - \log|x+y+2| = x + c$.$y + 1 - \log|x+y+2| = c$.$y = \log|x+y+2| + c - 1$.माना $c - 1 = \log k$, तब $y = \log|x+y+2| - \log k = \log\left(\frac{x+y+2}{k}\right)$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए ($k, c$ स्वेच्छ अचर हैं)

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मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ का हल है, जहाँ $y(0) = \frac{1}{2}$ है। तो $(2y(1) - 1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sin(x+y) \tan(x+y) - 1$ का हल है

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