मान लीजिए $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a+b+c < 0$ और द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल काल्पनिक हैं। तो:

यदि $y = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ नीचे दिए अनुसार है,जहाँ $\Delta ABC$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कर्ण $AC = 4\sqrt{2} \text{ units}$ है,तो $ax^2 + bx + c$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

किस शर्त के लिए द्विघात व्यंजक $x^2 + 2bx + c$ का मान हमेशा धनात्मक होगा?

कथन-$I$: यदि समीकरण $x^2 + 2(a - 3)x + 9 = 0$,$a \in R$ के मूल $\alpha, \beta$ इस प्रकार हैं कि $\alpha < 6 < \beta$,तो $a < -3/4$ होगा।
कथन-$II$: यदि $f(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 9$ है,तो $f(6) < 0 \implies a < -3/4$।

यदि $ax^2 + bx + c < 0$ सभी $x \in R$ के लिए है और व्यंजक $cx^2 + ax + b$ और $ax^2 + bx + c$ अपने चरम मान एक ही बिंदु $x$ पर रखते हैं,तो व्यंजक $cx^2 + ax + b$ के लिए:

यदि समीकरण $x^2+x+a=0$ के मूल $a$ से अधिक हैं,तो