मान लीजिए A = begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:$A^2 = A \cdot A = \begin{bma

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$\begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \ 0 & 1 & n \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

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(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \frac{2(2+1)}{2} \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & \frac{3(3+1)}{2} \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।इस पैटर्न का अवलोकन करने पर, किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, हमें प्राप्त होता है:$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \ 0 & 1 & n \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है। तो, धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, $A^n$ क्या होगा?

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