मान लीजिए a, b, c इस प्रकार हैं कि b(a+c) neq | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि दिया गया समीकरण $D_1 + D_2 = 0$ है। हमारे पास $D_1 = \left|\begin{array}{ccc}a & a+1 & a-1 \ -b & b+1 & b-1 \ c & c-1 & c+1\end{arr

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कोई भी विषम पूर्णांक

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(D) मान लीजिए कि दिया गया समीकरण $D_1 + D_2 = 0$ है। हमारे पास $D_1 = \left|\begin{array}{ccc}a & a+1 & a-1 \ -b & b+1 & b-1 \ c & c-1 & c+1\end{array}ight|$ है। $D_2$ का परिवर्त (transpose) लेने पर, हमें प्राप्त होता है $D_2 = \left|\begin{array}{ccc}a+1 & a-1 & (-1)^{n+2} a \ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1} b \ c-1 & c+1 & (-1)^{n} c\end{array}ight|$। अब, $D_2$ के पहले और तीसरे स्तंभ को दो बार आपस में बदलने पर (या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने पर) ताकि यह $D_1$ की संरचना से मेल खाए: $D_2 = \left|\begin{array}{ccc}(-1)^{n+2} a & a+1 & a-1 \ (-1)^{n+1} b & b+1 & b-1 \ (-1)^{n} c & c-1 & c+1\end{array}ight|$। $D_1$ और $D_2$ को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: $\left|\begin{array}{ccc}a(1 + (-1)^{n+2}) & a+1 & a-1 \ b(-1 + (-1)^{n+1}) & b+1 & b-1 \ c(1 + (-1)^{n}) & c-1 & c+1\end{array}ight| = 0$। सारणिक के शून्य होने के लिए, पहला स्तंभ शून्य होना चाहिए। $1 + (-1)^{n+2} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+2} = -1$, जिसका अर्थ है कि $n+2$ विषम है, इसलिए $n$ विषम है। $-1 + (-1)^{n+1} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+1} = 1$, जिसका अर्थ है कि $n+1$ सम है, इसलिए $n$ विषम है। $1 + (-1)^{n} = 0 \Rightarrow (-1)^{n} = -1$, जिसका अर्थ है कि $n$ विषम है। अतः, $n$ कोई भी विषम पूर्णांक है।

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