मान लीजिए $f(x)=a_0+a_1|x|+a_2|x|^2+a_3|x|^3$, जहाँ $a_0, a_1, a_2, a_3$ वास्तविक स्थिरांक हैं। तो $f(x)$, $x=0$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि:

मान लीजिए $f(x) = x^{2} - x + k - 2$,जहाँ $k \in R$ है। $k$ के उन सभी मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y = |f(|x|)|$ $5$ भिन्न बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

यदि $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है,तो उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $f(x) = 4|2x + 3| + 9[x + \frac{1}{2}] - 12[x + 20]$ विवृत अंतराल $(-20, 20)$ में अवकलनीय नहीं है:

मान लीजिए $f:R \to R$ एक फलन है जो $f(x) = \max \,(x, x^3)$ द्वारा परिभाषित है। उन सभी बिंदुओं का समुच्चय जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,है

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ और $g : R \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं जो सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$ और $f(x)=x g(x)$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $f$ प्रत्येक $x \in R$ पर अवकलनीय है
$(B)$ यदि $g(0)=1$ है,तो $g$ प्रत्येक $x \in R$ पर अवकलनीय है
$(C)$ अवकलज $f^{\prime}(1)$ का मान $1$ है
$(D)$ अवकलज $f^{\prime}(0)$ का मान $1$ है

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{(e^{kx}-1) \sin kx}{4 \tan x}, & x \neq 0 \\ P, & x=0 \end{cases}$ $x=0$ पर अवकलनीय है, तो