मान लीजिए f:[a, b] rightarrow R इस प्रकार है | vedclass

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Question

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$, $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a,

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$(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c)=f(c)$

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(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$, $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a)=0$ और $f(b)=0$, इसलिए $g(a) = e^{-a} f(a) = 0$ और $g(b) = e^{-b} f(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार, $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = 0$ हो।
अब, $g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$ है।
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर, हमें $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $c$ के लिए $e^{-c} 
eq 0$ है, इसलिए $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ या $f^{\prime}(c) = f(c)$ सिद्ध होता है।

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, $x=a$ और $x=b$ पर सतत है, और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

Similar Questions

मान लीजिए $f(x)$ और $g(x)$ $R$ में दो अवकलनीय फलन हैं,जहाँ $f(2) = 8, g(2) = 0, f(4) = 10$ और $g(4) = 8$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

माध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a) f'(x_1)$ जहाँ $a < x_1 < b$ के लिए,यदि $f(x) = 1/x$ है,तो $x_1 = ?$

यदि फलन $f(x) = x(x+3) e^{-\frac{x}{2}}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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