ધારો કે f અને g એ અંતરાલ I પર વિકલનીય છે અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A, C) વિધેય $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ ધ્યાનમાં લો.કારણ કે $f$ અને $g$ એ $I$ પર વિકલનીય છે, તેથી $h(x)$ પણ $I$ પર વિકલનીય છે.આપેલ છે કે $f(a) = 0$ અને $f

Vedclass · Accepted Answer

જો $g(a)=0=g(b)$ હોય, તો સમીકરણ $g^{\prime}(x)+k g(x)=0$ એ $(a, b)$ માં ઉકેલી શકાય છે, $k \in R$.

Vedclass · Answer

(A, C) વિધેય $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ ધ્યાનમાં લો.કારણ કે $f$ અને $g$ એ $I$ પર વિકલનીય છે, તેથી $h(x)$ પણ $I$ પર વિકલનીય છે.આપેલ છે કે $f(a) = 0$ અને $f(b) = 0$, તેથી $h(a) = e^{g(a)} f(a) = 0$ અને $h(b) = e^{g(b)} f(b) = 0$ થાય.રોલના પ્રમેય મુજબ, $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $h^{\prime}(c) = 0$ થાય.$h^{\prime}(x) = e^{g(x)} g^{\prime}(x) f(x) + e^{g(x)} f^{\prime}(x) = e^{g(x)} [f^{\prime}(x) + f(x) g^{\prime}(x)]$.$e^{g(x)} 
eq 0$ હોવાથી, $h^{\prime}(c) = 0$ નો અર્થ છે કે $f^{\prime}(c) + f(c) g^{\prime}(c) = 0$.આમ, વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.તે જ રીતે, વિકલ્પ $(c)$ માટે, $m(x) = e^{kx} g(x)$ ધ્યાનમાં લો.$g(a) = 0$ અને $g(b) = 0$ હોવાથી, $m(a) = 0$ અને $m(b) = 0$ થાય.રોલના પ્રમેય મુજબ, $(a, b)$ માં $c$ એવું મળે કે જેથી $m^{\prime}(c) = 0$ થાય.$m^{\prime}(x) = e^{kx} g^{\prime}(x) + k e^{kx} g(x) = e^{kx} [g^{\prime}(x) + k g(x)]$.$e^{kx} 
eq 0$ હોવાથી, $m^{\prime}(c) = 0$ નો અર્થ છે કે $g^{\prime}(c) + k g(c) = 0$.આમ, વિકલ્પ $(c)$ પણ સાચો છે.

ધારો કે $f$ અને $g$ એ અંતરાલ $I$ પર વિકલનીય છે અને $a, b \in I, a < b$ છે. તો,

Similar Questions

જો રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ માટે અંતરાલ $[-1, 1]$ માં બિંદુ $c = \frac{1}{2}$ આગળ લાગુ પડતું હોય,તો $2a + b$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એ બે વાર સતત વિકલનીય વિધેય છે, જેથી $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ થાય. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module