ધારો કે f:[a, b] rightarrow R એ [a, b] પર વિક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) વિધેય $g(x) = e^{kx} f(x)$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે અને $e^{kx}$ દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે, તેથી $g(x)$ એ $[a, b]$ પર વિક

Vedclass · Accepted Answer

$J(x)=0$ ને $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે

Vedclass · Answer

(C) વિધેય $g(x) = e^{kx} f(x)$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે અને $e^{kx}$ દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે, તેથી $g(x)$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે.
આપેલ છે કે $f(a) = 0$ અને $f(b) = 0$, તેથી $g(a) = e^{ka} f(a) = 0$ અને $g(b) = e^{kb} f(b) = 0$ મળે.
કારણ કે $g(a) = g(b) = 0$ અને $g(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે, રોલના પ્રમેય મુજબ, ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a, b)$ એવું મળે કે જેથી $g'(c) = 0$ થાય.
હવે, $g'(x) = \frac{d}{dx} (e^{kx} f(x)) = k e^{kx} f(x) + e^{kx} f'(x) = e^{kx} (f'(x) + k f(x))$.
કારણ કે $g'(c) = 0$, તેથી $e^{kc} (f'(c) + k f(c)) = 0$ મળે.
કારણ કે કોઈપણ $c$ માટે $e^{kc} 
eq 0$, તેથી $f'(c) + k f(c) = 0$ થવું જ જોઈએ.
આમ, ઓછામાં ઓછા એક $c \in (a, b)$ માટે $J(c) = 0$ થાય છે.

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે અને $k \in R$ છે. ધારો કે $f(a)=0=f(b)$. વળી ધારો કે $J(x)=f'(x)+k f(x)$. તો

Similar Questions

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ બે વાર સતત વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $f(0) = f(1) = f^{\prime}(0) = 0$ થાય. તો:

મધ્યક માન પ્રમેય (Mean Value Theorem) માં,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$. જો $a = 4$,$b = 9$ અને $f(x) = \sqrt{x}$ હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો:

વિધેય $f(x)=(x-1)(x-2)$ માટે જે $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે,લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરતું $c$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module