मान लीजिए f अंतराल [a, b] पर एक सतत अवकलनीय फ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in

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किसी $x \in(a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) = 0$

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(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime}(c)=0$ है। चूँकि $f^{\prime}(a)=0$ और $f^{\prime}(c)=0$ है, और $f^{\prime}$ अंतराल $[a, c]$ पर सतत है तथा $(a, c)$ पर अवकलनीय है, इसलिए हम अंतराल $[a, c]$ पर $f^{\prime}$ के लिए रोले का प्रमेय लागू कर सकते हैं। अतः, कम से कम एक $k \in (a, c)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime \prime}(k)=0$ है। चूँकि $(a, c) \subset (a, b)$, इसलिए किसी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ होगा।

मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है, इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

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यदि रोले का प्रमेय अंतराल $[-1, 1]$ में फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ के लिए बिंदु $c = \frac{1}{2}$ पर लागू होता है,तो $2a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(1) = -2$ और $1 \le x \le 6$ के लिए $f'(x) \ge 4.2$ है। $f(6)$ का संभावित मान किस अंतराल में स्थित है?

यदि फलन $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ अंतराल $[1,3]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $b c=$

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