मान लीजिए [x] उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता ह | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $I = \int_{-1}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$. हम समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करते हैं: $I = \int_{-1}^{0}(|x|-2[x]) \, dx + \int_{0}^{1}(|x|-2[x])

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$3$

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(A) मान लीजिए $I = \int_{-1}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$. हम समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करते हैं: $I = \int_{-1}^{0}(|x|-2[x]) \, dx + \int_{0}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$. $x \in [-1, 0)$ के लिए, $|x| = -x$ और $[x] = -1$ है। $x \in [0, 1)$ के लिए, $|x| = x$ और $[x] = 0$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{-1}^{0}(-x - 2(-1)) \, dx + \int_{0}^{1}(x - 2(0)) \, dx$. $I = \int_{-1}^{0}(-x + 2) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx$. समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $I = \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$. $I = (0 - 0) - \left( -\frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right) + \left( \frac{1^2}{2} - 0 \right)$. $I = - \left( -\frac{1}{2} - 2 \right) + \frac{1}{2}$. $I = \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2} = 1 + 2 = 3$.

मान लीजिए $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है, तो समाकलन $\int_{-1}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$ का मान क्या होगा?

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मान लीजिए $[ t ]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। तो $\int_{1}^{2} |2x - [3x]| dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^{2} {|x|\,dx} =$ ($/2$ में)

$\int_{a}^{b} \operatorname{sgn}(x) \, dx = \dots$ (जहाँ $a, b \in \mathbb{R}$)

$I = \int_{0}^{1} x \left| x - \frac{1}{2} \right| dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,तो $\int_0^5 [x] \, dx =$

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