मान लीजिए कि lim _{c rightarrow 0} int_c^x fr | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $g(x) = \lim _{c \rightarrow 0} \int_c^x \frac{b t \cos 4 t - a \sin 4 t}{t^2} d t = \frac{a \sin 4 x}{x} - 1$. जब $x \rightarrow 0$ हो,

Vedclass · Accepted Answer

$a = 1 / 4, b = 1$

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $g(x) = \lim _{c \rightarrow 0} \int_c^x \frac{b t \cos 4 t - a \sin 4 t}{t^2} d t = \frac{a \sin 4 x}{x} - 1$. जब $x \rightarrow 0$ हो, तो सीमा लेने पर हमें $g(0) = \lim _{x \rightarrow 0} (\frac{a \sin 4 x}{x} - 1) = 4a - 1$ प्राप्त होता है। चूंकि $c$ से $c$ तक का समाकलन $0$ होता है, इसलिए $g(0) = 0$ होना चाहिए, जिसका अर्थ है $4a - 1 = 0$, जिससे $a = 1/4$ प्राप्त होता है। अब, कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g'(x) = \frac{b x \cos 4 x - a \sin 4 x}{x^2}$. दाहिनी ओर का अवकलन करने पर: $g'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{a \sin 4 x}{x} - 1) = \frac{4ax \cos 4 x - a \sin 4 x}{x^2}$. $g'(x)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें $b = 4a$ प्राप्त होता है। चूंकि $a = 1/4$ है, इसलिए $b = 4(1/4) = 1$ है। अतः, $a = 1/4$ और $b = 1$ है।

मान लीजिए कि $\lim _{c \rightarrow 0} \int_c^x \frac{b t \cos 4 t - a \sin 4 t}{t^2} d t = \frac{a \sin 4 x}{x} - 1$. $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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