मान लीजिए कि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं। A | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12} \dots (1)$ न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $

Vedclass · Accepted Answer

$P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12} \dots (1)$ न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = \frac{1}{2}$ है। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{2}$, इसलिए $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$। सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर: $P(A) + P(B) - \frac{1}{12} = \frac{1}{2} \implies P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \dots (2)$ $(1)$ और $(2)$ से, $P(A)$ और $P(B)$ द्विघात समीकरण $x^2 - (P(A)+P(B))x + P(A)P(B) = 0$ के मूल हैं। $x^2 - \frac{7}{12}x + \frac{1}{12} = 0 \implies 12x^2 - 7x + 1 = 0$। गुणनखंड करने पर: $12x^2 - 4x - 3x + 1 = 0 \implies 4x(3x - 1) - 1(3x - 1) = 0 \implies (4x - 1)(3x - 1) = 0$। अतः, $x = \frac{1}{4}$ या $x = \frac{1}{3}$। इसलिए, प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{1}{3}$ और $P(B) = \frac{1}{4}$ हैं (या इसके विपरीत)।

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