ધારો કે f એ વિકલનીય વિધેય છે જે f(x)=1-2x+int | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $f(x)=1-2x+\int_{0}^{x}e^{(x-t)}f(t)dt$. $e^{-x}$ વડે ગુણતા, આપણને મળે $e^{-x}f(x) = (1-2x)e^{-x} + \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$. લીબનીઝના નિ

Vedclass · Accepted Answer

$9$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $f(x)=1-2x+\int_{0}^{x}e^{(x-t)}f(t)dt$. $e^{-x}$ વડે ગુણતા, આપણને મળે $e^{-x}f(x) = (1-2x)e^{-x} + \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $e^{-x}f'(x) - e^{-x}f(x) = -2e^{-x} - (1-2x)e^{-x} + e^{-x}f(x)$. $f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x) \Rightarrow f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$. આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ છે. $f(x)e^{-2x} = \int (2x-3)e^{-2x} dx = (2x-3)\frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2}e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$. $f(x) = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + Ce^{2x} = 1-x + Ce^{2x}$. કારણ કે $f(0) = 1-2(0) + 0 = 1$, તેથી $1 = 1-0 + C \Rightarrow C=0$. તેથી, $f(x) = 1-x$. હવે, $g(x) = \int_{0}^{x} (1-t+2)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt = \int_{0}^{x} (3-t)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt$. $g'(x) = (3-x)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17} = -(x-3)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17}$. ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $-12, 3, 4$ ની આસપાસ $g'(x)$ ની નિશાની તપાસતા: $x $-12  0$. $3 $x > 4$ માટે, $g'(x) સ્થાનિક ન્યૂનતમ $p = -12$ પર અને સ્થાનિક મહત્તમ $q = 3$ પર મળે છે. તેથી, $|p+q| = |-12+3| = |-9| = 9$.

Similar Questions

ધારો કે $f(x)=(x+3)^2(x-2)^3, x \in [-4,4]$ છે. જો $M$ અને $m$ એ $[-4,4]$ માં $f$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો હોય,તો $M-m$ ની કિંમત શોધો:

અંતરાલ $[1, e]$ પર $f(x) = x^2 \log x$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.

વિધેય $f(x) = \frac{x}{1 + x \tan x}$ તેની મહત્તમ કિંમત કયા બિંદુએ પ્રાપ્ત કરે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module