मान लीजिए कि [cdot] महत्तम पूर्णांक फलन को दर | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{12(3+[x])}{3+[\sin x]+[\cos x]} dx$. अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में $[x]$

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$11\pi+2$

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{12(3+[x])}{3+[\sin x]+[\cos x]} dx$. अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में $[x]$, $[\sin x]$, और $[\cos x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं। $x \in [-\frac{\pi}{2}, -1)$ के लिए, $[x] = -2$, $[\sin x] = -1$, $[\cos x] = 0$. अतः, समाकल्य $\frac{12(3-2)}{3-1+0} = \frac{12}{2} = 6$ है। $x \in [-1, 0)$ के लिए, $[x] = -1$, $[\sin x] = -1$, $[\cos x] = 0$. अतः, समाकल्य $\frac{12(3-1)}{3-1+0} = \frac{24}{2} = 12$ है। $x \in [0, 1)$ के लिए, $[x] = 0$, $[\sin x] = 0$, $[\cos x] = 0$. अतः, समाकल्य $\frac{12(3+0)}{3+0+0} = \frac{36}{3} = 12$ है। $x \in [1, \frac{\pi}{2}]$ के लिए, $[x] = 1$, $[\sin x] = 0$, $[\cos x] = 0$. अतः, समाकल्य $\frac{12(3+1)}{3+0+0} = \frac{48}{3} = 16$ है। अतः, $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} 6 dx + \int_{-1}^{0} 12 dx + \int_{0}^{1} 12 dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} 16 dx$. $I = 6(-1 - (-\frac{\pi}{2})) + 12(0 - (-1)) + 12(1 - 0) + 16(\frac{\pi}{2} - 1)$. $I = 6(-1 + \frac{\pi}{2}) + 12(1) + 12(1) + 16(\frac{\pi}{2} - 1)$. $I = -6 + 3\pi + 12 + 12 + 8\pi - 16$. $I = 11\pi + 2$.

मान लीजिए कि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। तो $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{12(3+[x])}{3+[\sin x]+[\cos x]} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int_{ - \pi }^{\pi } {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{1} x(1-x)^{n} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sin^{3/2} x}{\cos^{3/2} x + \sin^{3/2} x} dx = $

$\int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x=$

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{2} x \sqrt{2-x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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