मान लीजिए f(x)=lim _{theta rightarrow 0}left( | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{\cos \pi x - x^{(2/	heta)} \sin(x-1)}{1 + x^{(2/	heta)}(x-1)}$.स्थिति $1$: $|x| < 1$. जैसे

Vedclass · Accepted Answer

न तो $(I)$ और न ही $(II)$ सत्य है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{\cos \pi x - x^{(2/	heta)} \sin(x-1)}{1 + x^{(2/	heta)}(x-1)}$.स्थिति $1$: $|x| स्थिति $2$: $|x| > 1$. जैसे $	heta ightarrow 0$, $x^{(2/	heta)} ightarrow \infty$. अंश और हर को $x^{(2/	heta)}$ से विभाजित करने पर, हमें $f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ प्राप्त होता है।$x=1$ पर: $LHL = \lim_{x ightarrow 1^-} \cos \pi x = -1$. $RHL = \lim_{x ightarrow 1^+} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = -1$. चूँकि $LHL = RHL = f(1) = -1$, $f(x)$, $x=1$ पर संतत है। कथन $(I)$ असत्य है।$x=-1$ पर: $LHL = \lim_{x ightarrow -1^-} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = \frac{-\sin(-2)}{-2} = \frac{-\sin 2}{2}$. $RHL = \lim_{x ightarrow -1^+} \cos \pi x = \cos(-\pi) = -1$. चूँकि $LHL 
eq RHL$, $f(x)$, $x=-1$ पर असंतत है। कथन $(II)$ असत्य है।अतः, न तो $(I)$ और न ही $(II)$ सत्य है।

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$k$ $(k > 0)$ का वह मान,जिसके लिए फलन $f(x) = \frac{(e^x - 1)^4}{\sin(\frac{x^2}{k^2}) \log(1 + \frac{x^2}{2})}$,जहाँ $x \neq 0$ और $f(0) = 8$,$x = 0$ पर संतत है,है

माना $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & , x \neq 0 \\ 0 & , x=0 \end{cases}$. तो $x=0$ पर:

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