माना y=y(x) अवकल समीकरण sec x frac{dy}{dx} - | vedclass

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Question

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ है।
$\sec x$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} - 2y \cos x = 2 \cos x + 3 \s

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$2 - \frac{9e}{4}$

Vedclass · Answer

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ है।
$\sec x$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} - 2y \cos x = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = -2 \cos x$ और $Q = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \cos x dx} = e^{-2 \sin x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ है।
$y e^{-2 \sin x} = \int (2 \cos x + 3 \sin x \cos x) e^{-2 \sin x} dx + C$.
माना $u = -2 \sin x$, तो $du = -2 \cos x dx$, इसलिए $\cos x dx = -\frac{du}{2}$.
समाकलन $\int (-1 - \frac{3}{2} u) e^u (-\frac{du}{2}) = \int (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} u) e^u du = \frac{1}{2} e^u + \frac{3}{4} (u e^u - e^u) + C = \frac{3}{4} u e^u - \frac{1}{4} e^u + C$ हो जाता है।
$u = -2 \sin x$ वापस रखने पर: $y e^{-2 \sin x} = -\frac{3}{2} \sin x e^{-2 \sin x} - \frac{1}{4} e^{-2 \sin x} + C$.
$y = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} + C e^{2 \sin x}$.
चूँकि $y(0) = -\frac{7}{4}$ दिया गया है, $-\frac{7}{4} = 0 - \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
अतः, $y(x) = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} e^{2 \sin x}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर, $\sin x = \frac{1}{2}$, इसलिए $y(\frac{\pi}{6}) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} - \frac{3e}{2} = -1 - \frac{3e}{2}$.

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ का हल है, जहाँ $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ और $y(0) = -\frac{7}{4}$ है। तो $y(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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